地球の重力加速度9.8m/s2の計算での求め方

物理

2019.04.30 2018.12.08

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地球の重力加速度
1. 重力加速度とは、重力による加速度
2. 地球の重力加速度9.8m/s2の導出
月の重力加速度
太陽系の惑星の重力加速度
重力加速度の計算のまとめ

地球の重力加速度

重力加速度とは、重力による加速度

重力加速度とは、重力による加速度（加速する度合い）のことで、重力の強さを表しています。

地球の重力加速度は $9.8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ であると聞いたことがある人もいると思います。

速度と加速度の関係は

（速度）＝（加速度）×（時間）

です。

なので、地球ではものを自由落下させたときの落下速度が、

1秒後には $9.8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \times 1 \mathrm{s} = 9.8 \mathrm{m}/\mathrm{s}$
2秒後には $9.8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \times 2 \mathrm{s} = 19.6 \mathrm{m}/\mathrm{s}$
3秒後には $9.8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \times 3 \mathrm{s} = 29.4 \mathrm{m}/\mathrm{s}$

という風に増加していくことを意味しています。

ちなみに、（距離）＝1/2 ×（加速度）×（時間）^2なので、1秒後に4.9m、2秒後に19.6m、3秒後に44.1m落ちることになります。

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地球の重力加速度9.8m/s2の導出

重力加速度は万有引力の法則から求められます。

質量mの物体に働く重力はニュートンの運動の第2法則から $mg$ となります。

自転による遠心力の影響を無視すると、これがニュートンの万有引力の法則で与えられる力と等しいので、

$mg = G \frac{Mm}{r^2}$

となります。

両辺の $m$ が打ち消し合って、重力加速度 $g$ は、

$g = G \frac{M}{r^2}$

で求められます。

これに、

万有引力定数 $G$ 、地球の質量 $M$ 、地球の半径 $r$

$G = 6.674 \times 10^{-11} \ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2$

$M = 5.972 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$

$r = 6,371\ \mathrm{km}$

を代入すると、

$g = 9.820\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$

を得ることができます。

月の重力加速度

万有引力定数 $G$ は一定なので、重力加速度は星の質量 $M$ と半径 $r$ によってのみ決まる。

したがって、同様にして月の重力加速度を求めることができる。

月の質量 $M$ と半径 $r$

$M = 7.348 \times 10^{22}\ \mathrm{kg}$

$r = 1,737\ \mathrm{km}$

を代入すると、

$g = 1.637\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$

となりました。

これより、月の重力加速度は、地球の約6分の1の小ささであることがわかります。

したがって、月の上でジャンプをすると、 $3\ \mathrm{m}$ ぐらいの高さまで飛ぶことができます。

これは、月の半径は地球の約4分の1である一方、質量が約100分の1ということによって起きています。

太陽系の惑星の重力加速度

同様にして、質量 $M$ と半径 $r$ がわかれば任意の一様な球上の重力加速度を計算できます。

参考までに、太陽系の各惑星の質量 $M$ と半径 $r$ をまとめてみました。

惑星	質量 $M[\times 10^{24}\ \mathrm{kg}]$	半径 $r$ [km]
水星	0.3285	2,440
金星	4.867	6,052
地球	5.972	6,371
火星	0.639	3,390
木星	1,898	69,911
土星	568.3	58,232
天王星	86.81	25,362
海王星	102.4	24,622