地球の重力加速度9.8m/s2の計算での求め方

物理
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地球の重力加速度

重力加速度とは、重力による加速度

重力加速度とは、重力による加速度(加速する度合い)のことで、重力の強さを表しています。

地球の重力加速度は9.8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2であると聞いたことがある人もいると思います。

速度と加速度の関係は

(速度)=(加速度)×(時間)

です。

なので、地球ではものを自由落下させたときの落下速度が、

  • 1秒後には 9.8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \times 1 \mathrm{s} = 9.8 \mathrm{m}/\mathrm{s}
  • 2秒後には 9.8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \times 2 \mathrm{s} = 19.6 \mathrm{m}/\mathrm{s}
  • 3秒後には 9.8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \times 3 \mathrm{s} = 29.4 \mathrm{m}/\mathrm{s}

という風に増加していくことを意味しています。

重力加速度による速度の時間変化
ちなみに、(距離)=1/2 ×(加速度)×(時間)^2なので、1秒後に4.9m、2秒後に19.6m、3秒後に44.1m落ちることになります。

地球の重力加速度9.8m/s2の導出

重力加速度は万有引力の法則から求められます。

質量mの物体に働く重力はニュートンの運動の第2法則からmgとなります。

自転による遠心力の影響を無視すると、これがニュートンの万有引力の法則で与えられる力と等しいので、

   \[mg = G \frac{Mm}{r^2}\]

となります。

両辺のmが打ち消し合って、重力加速度gは、

   \[g = G \frac{M}{r^2}\]

で求められます。

これに、

万有引力定数G、地球の質量M、地球の半径r

  • G = 6.674 \times 10^{-11} \ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2
  • M = 5.972 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}
  • r = 6,371\ \mathrm{km}

を代入すると、

   \[g = 9.820\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2\]

を得ることができます。

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月の重力加速度

万有引力定数Gは一定なので、重力加速度は星の質量Mと半径rによってのみ決まる。

したがって、同様にして月の重力加速度を求めることができる。

月の質量Mと半径r

  • M = 7.348 \times 10^{22}\ \mathrm{kg}
  • r = 1,737\ \mathrm{km}

を代入すると、

   \[g = 1.637\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2\]

となりました。

これより、月の重力加速度は、地球の約6分の1の小ささであることがわかります。

したがって、月の上でジャンプをすると、3\ \mathrm{m}ぐらいの高さまで飛ぶことができます。

これは、月の半径は地球の約4分の1である一方、質量が約100分の1ということによって起きています。

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太陽系の惑星の重力加速度

同様にして、質量Mと半径rがわかれば任意の一様な球上の重力加速度を計算できます。

参考までに、太陽系の各惑星の質量Mと半径rをまとめてみました。

惑星
質量M[\times 10^{24}\ \mathrm{kg}]半径r[km]
水星0.32852,440
金星4.8676,052
地球5.9726,371
火星0.6393,390
木星1,89869,911
土星568.358,232
天王星86.8125,362
海王星102.424,622

自分で計算できる人はいくつかやってみてください。

また、以下に質量と半径を入力すると自動で重力加速度を計算してくれるフォームを作成してみました。

いろいろな数字を入力して遊んでみてください。

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重力加速度の計算のまとめ

いかがでしょうか。

ニュートンの運動の第2法則と万有引力の法則から、重力加速度を計算できる式

   \[g = G \frac{M}{r^2}\]

を求め、地球と月の重力加速度を計算してみました。

また、その他の物体の重力加速度を自動で計算してくれるフォームを作成してみました。

参考になれば嬉しいです。

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