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【振り子の等時性】復元力と周期の計算での求め方｜長さだけで決まる

物理

2023.01.072021.04.25

この記事は約3分で読めます。

振り子とは、支点から吊るされ、重力によって揺れを繰り返すもののことです。

また、伸び縮みしない軽い棒の一端を固定し、他端に質点とみなせるおもりを取り付け、重力の作用でひとつの鉛直面内を振動するようにした振り子を、「単振り子」と呼びます。

振り子には揺れの周期が振幅や重さに関係なく一定である、「振り子の等時性」という性質があります。

この記事では、単振り子の運動方程式から振り子の等時性を導く方法を説明します。

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目次

単振り子の運動方程式
単振り子の周期
シミュレーション｜振り子の周期と糸の長さを自動で計算
まとめ

単振り子の運動方程式

単振り子

単振り子の棒の長さを $l$ 、おもりの質量を $m$ とします。

おもりを横に引いて離すと、往復運動をします。

おもりが運動する円周上に $x$ 軸を取ります。

おもりの往復運動にかかわる力は重力 $mg$ の接線方向なので、棒と鉛直方向のなす角を $\theta$ とすると、力 $F$ は

$F = -mg \sin\theta$

となる。

おもりの座標 $x$ 、棒の長さ $l$ 、角度 $\theta$ の関係は、

$x = l \theta$

であるから、

$F = -mg \sin\frac{x}{l}$

となる。

ここで、 $\theta$ は十分小さいとすると、 $\sin\theta \fallingdotseq \theta$ と近似できるので、

$F \fallingdotseq -mg \frac{x}{l} = -\frac{mg}{l}x$

となる。

この式は、力 $F$ の方向が変位 $x$ と逆方向であり、大きさが変位の大きさに比例するという「復元力」であることを意味しており、おもりが単振動をすることを意味します。

以上より単振り子の運動方程式は、

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -\frac{mg}{l}x$

と書けます。

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単振り子の周期

単振り子の運動方程式より、

$\frac{d^2 x}{dt^2} = -\frac{g}{l}x$

となる。

ここで、単振動を表す式、

$\frac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x$

と比較することにより、角速度 $\omega$ は、

$\omega^2 = \frac{g}{l}$

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

となる。

したがって、単振り子の周期 $T$ は、

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

となる。

この式から、周期 $T$ が棒の長さ $l$ だけで決まり、質量や振幅に依存しないことがわかります。

これが「振り子の等時性」です。

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シミュレーション｜振り子の周期と糸の長さを自動で計算

以下に振り子の周期または糸の長さを入力することで、自動で糸の長さまたは振り子の周期を計算できるフォームを作成しました。

数値を入力するだけで自動で計算されるようになっているので、活用してみてください。

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まとめ

この記事では、単振り子の運動方程式から振り子の等時性を導きました。

ただし、振り子の角度 $\theta$ は十分小さいと仮定して $\sin\theta \fallingdotseq \theta$ という近似を用いたため、角度が大きい、つまり振幅が大きいときには振り子の等時性は成り立たなくなります。

身近に振動しているものを見つけたら、その周期を測ることで長さを推測できるのでぜひ計算してみてください。

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